class: front <!--- Para correr en ATOM - open terminal, abrir R (simplemente, R y enter) - rmarkdown::render('static/docpres/07_interacciones/7interacciones.Rmd', 'xaringan::moon_reader') About macros.js: permite escalar las imágenes como [scale 50%](path to image), hay si que grabar ese archivo js en el directorio. ---> .pull-left[ # Estadística Multivariada ## Juan Carlos Castillo ## Sociología FACSO - UChile ## 1er Sem 2022 ## [.purple[multivariada.netlify.com]](https://multivariada.netlify.com) ] .pull-right[ .right[ <br> ## .purple[Sesión 7: Inferencia en Regresión]  ] ] --- layout: true class: animated, fadeIn --- class: inverse, bottom, right, animated, slideInRight .pull-left-narrow[ # .red[Contenidos]] ## 1. Repaso ## 2. Inferencia Estadística ## 3. Inferencia en regresión ## 4. Tabla de regresión --- class: roja bottom right slideInRight # 1. Repaso --- # Regresión múltiple: más de 1 predictor .pull-left[ .center[] .small[ `$$\widehat{Ingreso}=b_0+b_1(Educ)$$` ] ] -- .pull-right[ .center[] .small[ `$$\widehat{Ingreso}=b_0+b_1(Educ)+b_2(Int)$$` ]] --- # Control estadístico - Característico de análisis de datos secundarios (ej: encuestas) - Se incluyen en el modelo variables que teóricamente podrían dar cuenta o afectar la relación entre X e Y. - Esto despeja o "controla" la asociación de `\(X_1\)` e `\(Y\)`, aislando el efecto conjunto de `\(X_1\)` y `\(X_2\)` (... y `\(X_n\)`) --- # Regresión simple vs múltiple .small[ ] .small[ <table class="texreg" style="margin: 10px auto;border-collapse: collapse;border-spacing: 0px;caption-side: bottom;color: #000000;border-top: 2px solid #000000;"> <caption> </caption> <thead> <tr> <th style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;"> </th> <th style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">Model 1</th> <th style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">Model 2</th> <th style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">Model 3</th> </tr> </thead> <tbody> <tr style="border-top: 1px solid #000000;"> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">(Intercept)</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">-91566.27</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">93442.62</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">-270638.30</td> </tr> <tr> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;"> </td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">(183509.80)</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">(302389.31)</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">(241882.27)</td> </tr> <tr> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">educ</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">150401.61<sup>**</sup></td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;"> </td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">137092.20<sup>*</sup></td> </tr> <tr> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;"> </td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">(43618.69)</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;"> </td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">(44602.35)</td> </tr> <tr> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">intelig</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;"> </td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">174590.16</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">100425.53</td> </tr> <tr> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;"> </td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;"> </td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">(124491.71)</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">(90114.05)</td> </tr> <tr style="border-top: 1px solid #000000;"> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">R<sup>2</sup></td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">0.60</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">0.20</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">0.66</td> </tr> <tr> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">Adj. R<sup>2</sup></td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">0.55</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">0.10</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">0.56</td> </tr> <tr style="border-bottom: 2px solid #000000;"> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">Num. obs.</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">10</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">10</td> <td style="padding-left: 5px;padding-right: 5px;">10</td> </tr> </tbody> <tfoot> <tr> <td style="font-size: 0.8em;" colspan="4"><sup>***</sup>p < 0.001; <sup>**</sup>p < 0.01; <sup>*</sup>p < 0.05</td> </tr> </tfoot> </table> ] --- # Parcialización _¿Cómo se despeja la regresión de `\(Y\)` en `\(X_1\)` del efecto de `\(X_2\)`?_ .pull-left[ .center[] ] -- .pull-right[ .center[] ] --- .pull-left[ # Parcialización .medium[ ¿Como obtenemos una variable `\(X_1\)` parcializada de `\(X_2\)`? ] .center[ ] ] -- .pull-right[ <br> <br> .medium[ - Pensemos en que `\(X_1\)` parcializada (de `\(X_2\)` ) es todo lo de `\(X_1\)` (varianza) que no tiene que ver con `\(X_2\)` - En otras palabras, en un modelo donde `\(X_1\)` es la variable dependiente y `\(X_2\)` la independiente, `\(X_1\)` parcializada equivale al **residuo** de esta regresión ] ] --- class: inverse ## RESUMEN - Si hay correlación entre predictores, el valor de los coeficientes de regresión será **distinto** en modelos simples y en modelos múltiples - Esta diferencia se relaciona con el concepto de **parcialización**: se extrae la varianza común entre predictores - La parcialización permite el **control estadístico**: *limpiar* o despejar los efectos de la influencia de otras variables --- class: roja, bottom, right, slideInRight # 2. Inferencia estadística ---  --- # Inferencia: la otra mitad de la regresión - hasta ahora hemos interpretado solo la magnitud de los `\(\beta\)` de regresión. Pero, - ¿son estos `\(\beta\)` **_estadísticamente_** significativos? - es algo que podemos extrapolar de nuestra muestra a la población? - ... o es algo que se debe simplemente al azar? --- # Inferencia y tablas de regresión .content-box-red[ - las tablas de regresión tienen información sobre inferencia reportada de manera automática (errores estándar, niveles de probabilidad de error, etc) ] -- .content-box-purple[ - sin embargo, antes de interpretar directamente esta información, es conveniente ahondar en cómo se obtiene esa información y cuál es su sentido ] --- .pull-left-narrow[  ] .pull-right-wide[ ## Conceptos claves de inferencia - La **inferencia** en estadística se refiere a la relación que existe entre los resultados obtenidos basados en nuestra muestra y la población {{content}} ] -- - **¿En qué medida podemos hacer inferencias desde nuestra muestra a la población?** {{content}} -- - Un concepto central es la probabilidad de **ERROR** --- # Parámetros y estadísticos <br> | | Población (parámetro) | Muestra (estadístico) | |--------------------- |------------------------ |------------------------ | | Promedio | `\(\mu\)` | `\(\bar{x}\)` | | Varianza | `\(\sigma²\)` | `\(s²\)` | | Desviación estándar | `\(\sigma\)` | `\(s\)` | --- # Bases de inferencia: - dispersión: varianza y desviación estandar - curva normal - error estándar --- .pull-left-narrow[ # Dispersión: ## Varianza ] .pull-right-wide[  ] --- # Medidas de Dispersión .pull-left[ ## Varianza <br> <br> ## Desviación estándar ] .pull-right[ `$$s^2=\frac{\Sigma(x-\bar{x})²}{N-1}$$` <br> `$$s=\sqrt \frac{\Sigma(x-\bar{x})²}{N-1}$$`] --- .content-box-yellow[ ## Desviación estándar y curva normal] .center[] --- .pull-left-narrow[  ] .pull-right-wide[ .content-box-purple[ ## Desviación estándar y error estándar] - más que el promedio de la variable en nuestra **muestra**, en inferencia nos interesa estimar en qué medida ese promedio da cuenta del promedio de la **población** {{content}} ] -- - contamos con **una muestra**, pero sabemos que otras muestras podrían haber sido extraídas, probablemente con distintos resultados. --- # Error estándar  --- # Error estándar  --- # Error estándar  --- # Error estándar - ¿Cómo calculamos el error estándar a partir de **una** muestra? - Basados en el **teorema del límite central**, en muestras mayores a 30 la desviación estándar de los promedios (error estándar) equivale a: `$$\sigma_{\bar{X}}=SE(error estándar)=\frac{s}{\sqrt{N}}$$` --- # Error, rangos y probabilidad .pull-left[ .medium[ - Nuestro promedio muestral `\(\bar{x}\)` posee una distribución normal con una desviación estandar = SE (error estándar) - Esto nos permite calcular una probabilidad de error basados en los valores de la curva normal ] ] .pull-right[ .center[]] --- # Error, rangos y probabilidad .pull-left[ .medium[ - Por ejemplo, `\(\bar{x}\)` +/- 2 SE abarca aproximadamente el 95% de los valores probables - De otra manera, puedo dar un rango de valores donde se encuentra el promedio(+- 2 SE), con un nivel de confianza de 95% - ... o con una probabilidad de error p<0.05 ] ] .pull-right[ .center[]] --- # Inferencia y significación estadística - ¿Con qué nivel de **probabilidad** estamos dispuest_s a aceptar que las diferencias (entre promedios) son distintas de 0? - Por convención, una probabilidad de error (o valor *p*) de menos de 0.05 (1 de 20 veces) - Esto significa una probabilidad de acierto/nivel de confianza de 95% (2 SE) --- .center[] --- class: roja, bottom, right, slideInRight # 3. Inferencia y regresión --- ## Volviendo a regresión - el error estándar del promedio nos sirve como referencia cálculo de significación estadística de los coeficientes de regresión -- - en regresión, las variables independientes poseen distintos niveles/valores, y queremos saber si las diferencias en Y de los valores de X son significativas = **estadísticamente distintas de 0**. - Ej: diferencias de ingreso (Y) entre hombres y mujeres (X) --- # Inferencia y prueba de hipótesis - La hipótesis nula (o `\(H_0\)` ) se refiere a que las diferencias son = 0 - En regresión, `\(H_0\)` dice que nuestro beta no es distinto de cero - Por eso, queremos rechazar `\(H_0\)` y para eso tenemos que establecer un nivel de probabilidad aceptable (al menos p<0.05) --- ## Prueba de hipótesis en regresión Contrastamos la *hipótesis nula* (no hay asociación entre el predictor y la variable dependiente): `$$H_{0}: \beta_{j} = 0$$` En relación a la siguiente hipótesis alternativa: `$$H_{a}: \beta_{j} \neq 0$$` --- # Prueba T - para **mayor precisión**, la prueba T nos permite establecer el nivel de error que estamos cometiendo al rechazar `\(H_0\)` - para ello, T se ajusta por la cantidad de sujetos en la muestra (N), pero para un N>120 se aproxima a la distribución normal. --- ## Inferencia, diferencias y prueba _t_ .medium[ - La prueba _t_ se utiliza para inferencias sobre `\(\beta\)` y básicamente es una razón entre .center[] - Ya que la diferencia esperada si `\(H_0\)` es verdadera es 0, entonces: `$$t=\frac{b_j}{SE(b_j)}$$` ] --- # Pasos 1. obtener `\(\beta\)` 2. obtener SE (error estándar) de `\(\beta\)` 3. calcular t: `\(t=\frac{b_j}{SE(b_j)}\)` 4. determinar la probabilidad de error asociada al valor t --- ## `\(SE(b_j)\)` - Ej: para el caso simple de una variable dicotómica: `$$SE=\sqrt{\frac{\sigma_{diff}}{n_a}+\frac{\sigma_{diff}}{n_b}}$$` - Para lo cual se requiere calcular la desviación estandar de la diferencia: `$$\sigma_{diff}=\frac{\sigma^2_{a}(n_a-1)+\sigma^2_{b}(n_b-1)}{n_a+n_b-2}$$` --- # ¿Cómo utilizamos el valor T? - T ( `\(\beta/SE\)` ) se compara con un **valor crítico** - El valor crítico se obtiene de una tabla según el nivel de probabilidad de error `\(\alpha\)` y los **grados de libertad** N-k-1 (siendo k el número de regresores) - Si nuestro T observado > valor crítico de T, entonces rechazamos `\(H_0\)` al nivel de confianza establecido --- # Valor crítico de T  --- # Valor crítico de T Imaginemos que nuestro `\(T=\frac{\beta}{SE}=\frac{10}{4}=2.5\)` a) Nivel de confianza 95% b) N= 300 y dos regresores (k=2) En consecuencia tenemos un `\(\alpha = 0.05\)` y `\(gl = 300 -2 - 1 = 297\)` --- # Valor crítico de T .medium[ - Con un `\(\alpha = 0.05\)` al ser una `\(H_0\)` de dos colas este será `\(0.05/1 = 0.025\)`. En la distribución t la cola inferior será 0.025 y la superior 0.975. ] .center[  ] --- # Valor crítico de T .medium[ - Para un 95% de confianza ( `\(\alpha\)` =0.05; 0.025 dos colas) y grados de libertad 297, se busca en alguna [tabla de valores críticos de T](https://people.richland.edu/james/lecture/m170/tbl-t.html) ... o directamente en R: ```r qt(0.975, 297) ``` ``` ## [1] 1.967984 ``` - Nuestro T (2.5) es mayor que el T crítico (1.96), por lo tanto podemos rechazar `\(H_0\)` con un 95% de confianza ... o con p<0.05 ] --- # Valor crítico de T Lo mismo pero para un `\(\alpha=0.01\)` que equivale a un percentil = 0.995 (dos colas) ```r qt(0.995, 297) ``` ``` ## [1] 2.592484 ``` En este caso, no podemos rechazar `\(H_0\)` con un 99% de confianza. --- # Valor crítico de T - para simplificar, básicamente se utilizan 2 valores críticos de T / Z: - 1.96 para un `\(\alpha=0.05\)` - 2.58 para un `\(\alpha=0.01\)` - por lo tanto, si el beta se divide por el error estándar y da más que **1.96**, entonces es estadísitcamente significativo con una probabilidad de error **p <0.05**, y si es mayor de **2.58** es estadísitcamente significativo con una probabilidad de error **p <0.01** --- class: inverse ## Resumen: inferencia en regresión - conceptos centrales: error estándar del `\(\beta\)` y **valor T** - el valor T se obtiene dividiendo el beta por el error estándar - para muestras grandes, un T > 1.96 permite rechazar `\(H_0\)` a un p<0.05, y T > 2.58 a un p>0.01 --- class: roja, bottom, right, slideInRight # 4. Tabla de regresión --- ## Reporte de regresión múltiple - en ocasiones se representa el modelo como una ecuación (opcional), y los resultados en una Tabla de Regresión - la tabla posee ciertas características y contenidos mínimos que deben ser considerados en el reporte - en R es posible automatizar el reporte en tablas, pero hay que agregar especificaciones para una visualización adecuada --- # Ejemplo reporte - Datos: puntajes en pruebas de logro académico de 200 estudiantes - Hipótesis: puntaje en ciencia es mayor en quienes obtienen puntajes mayores en matemática y lectura. Se agregan variables control de sexo y estatus socioeconómico --- # Variables .tiny[ <div class="container st-container"> <table class="table table-striped table-bordered st-table st-table-striped st-table-bordered st-multiline "> <thead> <tr> <th align="center" class="st-protect-top-border"><strong>No</strong></th> <th align="center" class="st-protect-top-border"><strong>Variable</strong></th> <th align="center" class="st-protect-top-border"><strong>Stats / Values</strong></th> <th align="center" class="st-protect-top-border"><strong>Freqs (% of Valid)</strong></th> <th align="center" class="st-protect-top-border"><strong>Graph</strong></th> <th align="center" class="st-protect-top-border"><strong>Valid</strong></th> <th align="center" class="st-protect-top-border"><strong>Missing</strong></th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="center">1</td> <td align="left">ciencia [integer]</td> <td align="left">Mean (sd) : 51.9 (9.9) min < med < max: 26 < 53 < 74 IQR (CV) : 14 (0.2)</td> <td align="left" style="vertical-align:middle">34 distinct values</td> <td align="left" style="vertical-align:middle;padding:0;background-color:transparent"><img style="border:none;background-color:transparent;padding:0" src="data:image/png;base64, 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"></td> <td align="center">200 (100.0%)</td> <td align="center">0 (0.0%)</td> </tr> <tr> <td align="center">2</td> <td align="left">matematicas [integer]</td> <td align="left">Mean (sd) : 52.6 (9.4) min < med < max: 33 < 52 < 75 IQR (CV) : 14 (0.2)</td> <td align="left" style="vertical-align:middle">40 distinct values</td> <td align="left" style="vertical-align:middle;padding:0;background-color:transparent"><img style="border:none;background-color:transparent;padding:0" src="data:image/png;base64, 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"></td> <td align="center">200 (100.0%)</td> <td align="center">0 (0.0%)</td> </tr> <tr> <td align="center">3</td> <td align="left">mujer [integer]</td> <td align="left">Min : 0 Mean : 0.5 Max : 1</td> <td align="left" style="padding:0;vertical-align:middle"><table style="border-collapse:collapse;border:none;margin:0"><tr style="background-color:transparent"><td style="padding:0 2px 0 7px;margin:0;border:0" align="right">0</td><td style="padding:0 2px;border:0;" align="left">:</td><td style="padding:0 4px 0 6px;margin:0;border:0" align="right">91</td><td style="padding:0;border:0" align="left">(</td><td style="padding:0 2px;margin:0;border:0" align="right">45.5%</td><td style="padding:0 4px 0 0;border:0" align="left">)</td></tr><tr style="background-color:transparent"><td style="padding:0 2px 0 7px;margin:0;border:0" align="right">1</td><td style="padding:0 2px;border:0;" align="left">:</td><td style="padding:0 4px 0 6px;margin:0;border:0" align="right">109</td><td style="padding:0;border:0" align="left">(</td><td style="padding:0 2px;margin:0;border:0" align="right">54.5%</td><td style="padding:0 4px 0 0;border:0" align="left">)</td></tr></table></td> <td align="left" style="vertical-align:middle;padding:0;background-color:transparent"><img style="border:none;background-color:transparent;padding:0" src="data:image/png;base64, iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAF4AAAA3CAQAAAAvIDV3AAAABGdBTUEAALGPC/xhBQAAACBjSFJNAAB6JgAAgIQAAPoAAACA6AAAdTAAAOpgAAA6mAAAF3CculE8AAAAAmJLR0QA/4ePzL8AAAAHdElNRQfmBwEBIwS+UzAFAAAAnElEQVRo3u3YsQ2AMAwFUQdlOiaACWEC1oPWQQqK0tgf3VWgULzCIOFym25LNAC8YtXfHGlegK30TvxBbY/WaLWZmV2Dz0mPDXjw4IUCDx68UODBgxcKPPiJXv+wo3+POSp+YZBmefAFdtfSYyONb2b+FJib3c1NyqVTv/aDIj024MGDFwo8ePBCgQcPXijw4Cf6z9JJLemxAR/VA9voC+JUf/KjAAAAJXRFWHRkYXRlOmNyZWF0ZQAyMDIyLTA3LTAxVDAxOjM1OjA0KzAwOjAwkIjlewAAACV0RVh0ZGF0ZTptb2RpZnkAMjAyMi0wNy0wMVQwMTozNTowNCswMDowMOHVXccAAAAASUVORK5CYII="></td> <td align="center">200 (100.0%)</td> <td align="center">0 (0.0%)</td> </tr> <tr> <td align="center">4</td> <td align="left">status [integer]</td> <td align="left">Mean (sd) : 52.4 (10.7) min < med < max: 26 < 52 < 71 IQR (CV) : 15 (0.2)</td> <td align="left" style="vertical-align:middle">22 distinct values</td> <td align="left" style="vertical-align:middle;padding:0;background-color:transparent"><img style="border:none;background-color:transparent;padding:0" src="data:image/png;base64, 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"></td> <td align="center">200 (100.0%)</td> <td align="center">0 (0.0%)</td> </tr> <tr> <td align="center">5</td> <td align="left">lectura [integer]</td> <td align="left">Mean (sd) : 52.2 (10.3) min < med < max: 28 < 50 < 76 IQR (CV) : 16 (0.2)</td> <td align="left" style="vertical-align:middle">30 distinct values</td> <td align="left" style="vertical-align:middle;padding:0;background-color:transparent"><img style="border:none;background-color:transparent;padding:0" src="data:image/png;base64, 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"></td> <td align="center">200 (100.0%)</td> <td align="center">0 (0.0%)</td> </tr> </tbody> </table> <p>Generated by <a href='https://github.com/dcomtois/summarytools'>summarytools</a> 0.9.9 (<a href='https://www.r-project.org/'>R</a> version 4.0.3)<br/>2022-06-30</p> </div> ] --- # Modelos y ecuaciones ```r reg1 <- lm(ciencia ~ matematicas + lectura, data=data) reg2 <- lm(ciencia ~ matematicas + lectura + mujer + status, data=data) ``` ```r # librería equatiomatic R extract_eq(reg1) extract_eq(reg2) ``` `$$\operatorname{ciencia} = \alpha + \beta_{1}(\operatorname{matematicas}) + \beta_{2}(\operatorname{lectura}) + \epsilon$$` `$$\operatorname{ciencia} = \alpha + \beta_{1}(\operatorname{matematicas}) + \beta_{2}(\operatorname{lectura}) + \beta_{3}(\operatorname{mujer}) + \beta_{4}(\operatorname{status}) + \epsilon$$` --- .pull-left-narrow[ # Tabla de regresión ## con sjPlot ] .pull-right-wide[ .smally[ <table style="border-collapse:collapse; border:none;"> <caption style="font-weight: bold; text-align:left;">Modelos de regresión para puntaje en ciencia <br> (Errores estándar entre paréntesis)</caption> <tr> <th style="border-top: double; text-align:center; font-style:normal; font-weight:bold; padding:0.2cm; text-align:left; "> </th> <th colspan="1" style="border-top: double; text-align:center; font-style:normal; font-weight:bold; padding:0.2cm; ">Modelo 1</th> <th colspan="1" style="border-top: double; text-align:center; font-style:normal; font-weight:bold; padding:0.2cm; ">Modelo 2</th> </tr> <tr> <td style=" text-align:center; border-bottom:1px solid; font-style:italic; font-weight:normal; text-align:left; ">Predictores</td> <td style=" text-align:center; border-bottom:1px solid; font-style:italic; font-weight:normal; ">β</td> <td style=" text-align:center; border-bottom:1px solid; font-style:italic; font-weight:normal; ">β</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; ">(Intercept)</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">11.616 <sup>***</sup><br>(3.054)</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">12.325 <sup>***</sup><br>(3.194)</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; ">matematicas</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.402 <sup>***</sup><br>(0.073)</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.389 <sup>***</sup><br>(0.074)</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; ">lectura</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.365 <sup>***</sup><br>(0.066)</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.335 <sup>***</sup><br>(0.073)</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; ">mujer</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; "></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">-2.010 <sup></sup><br>(1.023)</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; ">status</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; "></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.050 <sup></sup><br>(0.062)</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm; border-top:1px solid;">Observations</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm; text-align:left; border-top:1px solid;" colspan="1">200</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm; text-align:left; border-top:1px solid;" colspan="1">200</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm;">R<sup>2</sup> / R<sup>2</sup> adjusted</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm; text-align:left;" colspan="1">0.478 / 0.473</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm; text-align:left;" colspan="1">0.489 / 0.479</td> </tr> <tr> <td colspan="3" style="font-style:italic; border-top:double black; text-align:right;">* p<0.05 ** p<0.01 *** p<0.001</td> </tr> </table> ]] ---  --- ## Otras alternativas .smally[ <br> <table style="border-collapse:collapse; border:none;"> <caption style="font-weight: bold; text-align:left;">Modelos de regresión para puntaje en ciencia <br> (Errores estándar entre paréntesis)</caption> <tr> <th style="border-top: double; text-align:center; font-style:normal; font-weight:bold; padding:0.2cm; text-align:left; "> </th> <th colspan="2" style="border-top: double; text-align:center; font-style:normal; font-weight:bold; padding:0.2cm; ">Modelo 1</th> <th colspan="2" style="border-top: double; text-align:center; font-style:normal; font-weight:bold; padding:0.2cm; ">Modelo 2</th> </tr> <tr> <td style=" text-align:center; border-bottom:1px solid; font-style:italic; font-weight:normal; text-align:left; ">Predictores</td> <td style=" text-align:center; border-bottom:1px solid; font-style:italic; font-weight:normal; ">β</td> <td style=" text-align:center; border-bottom:1px solid; font-style:italic; font-weight:normal; ">std. Error</td> <td style=" text-align:center; border-bottom:1px solid; font-style:italic; font-weight:normal; ">β</td> <td style=" text-align:center; border-bottom:1px solid; font-style:italic; font-weight:normal; ">std. Error</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; ">(Intercept)</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">11.616 <sup>***</sup></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">3.054</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">12.325 <sup>***</sup></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">3.194</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; ">matematicas</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.402 <sup>***</sup></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.073</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.389 <sup>***</sup></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.074</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; ">lectura</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.365 <sup>***</sup></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.066</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.335 <sup>***</sup></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.073</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; ">mujer</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; "></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; "></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">-2.010 <sup></sup></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">1.023</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; ">status</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; "></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; "></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.050 <sup></sup></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.062</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm; border-top:1px solid;">Observations</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm; text-align:left; border-top:1px solid;" colspan="2">200</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm; text-align:left; border-top:1px solid;" colspan="2">200</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm;">R<sup>2</sup> / R<sup>2</sup> adjusted</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm; text-align:left;" colspan="2">0.478 / 0.473</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm; text-align:left;" colspan="2">0.489 / 0.479</td> </tr> <tr> <td colspan="5" style="font-style:italic; border-top:double black; text-align:right;">* p<0.05 ** p<0.01 *** p<0.001</td> </tr> </table> ] --- ## Otras alternativas .smally[ <br> <table style="border-collapse:collapse; border:none;"> <caption style="font-weight: bold; text-align:left;">Modelos de regresión para puntaje en ciencia <br> (Errores estándar entre paréntesis)</caption> <tr> <th style="border-top: double; text-align:center; font-style:normal; font-weight:bold; padding:0.2cm; text-align:left; "> </th> <th colspan="3" style="border-top: double; text-align:center; font-style:normal; font-weight:bold; padding:0.2cm; ">Modelo 1</th> <th colspan="3" style="border-top: double; text-align:center; font-style:normal; font-weight:bold; padding:0.2cm; ">Modelo 2</th> </tr> <tr> <td style=" text-align:center; border-bottom:1px solid; font-style:italic; font-weight:normal; text-align:left; ">Predictores</td> <td style=" text-align:center; border-bottom:1px solid; font-style:italic; font-weight:normal; ">β</td> <td style=" text-align:center; border-bottom:1px solid; font-style:italic; font-weight:normal; ">CI</td> <td style=" text-align:center; border-bottom:1px solid; font-style:italic; font-weight:normal; ">p</td> <td style=" text-align:center; border-bottom:1px solid; font-style:italic; font-weight:normal; ">β</td> <td style=" text-align:center; border-bottom:1px solid; font-style:italic; font-weight:normal; ">CI</td> <td style=" text-align:center; border-bottom:1px solid; font-style:italic; font-weight:normal; col7">p</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; ">(Intercept)</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">11.62</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">5.59 – 17.64</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; "><strong><0.001</strong></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">12.33</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">6.03 – 18.62</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; col7"><strong><0.001</strong></td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; ">matematicas</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.40</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.26 – 0.54</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; "><strong><0.001</strong></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.39</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.24 – 0.54</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; col7"><strong><0.001</strong></td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; ">lectura</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.37</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.23 – 0.50</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; "><strong><0.001</strong></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.34</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.19 – 0.48</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; col7"><strong><0.001</strong></td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; ">mujer</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; "></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; "></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; "></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">-2.01</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">-4.03 – 0.01</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; col7">0.051</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; ">status</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; "></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; "></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; "></td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">0.05</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; ">-0.07 – 0.17</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:center; col7">0.424</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm; border-top:1px solid;">Observations</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm; text-align:left; border-top:1px solid;" colspan="3">200</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm; text-align:left; border-top:1px solid;" colspan="3">200</td> </tr> <tr> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; text-align:left; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm;">R<sup>2</sup> / R<sup>2</sup> adjusted</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm; text-align:left;" colspan="3">0.478 / 0.473</td> <td style=" padding:0.2cm; text-align:left; vertical-align:top; padding-top:0.1cm; padding-bottom:0.1cm; text-align:left;" colspan="3">0.489 / 0.479</td> </tr> </table> ] --- ## Información para contraste de hipótesis en tabla de regresión - error estándar - t - intervalo de confianza - p / asteriscos --- ## Beta estandarizado o no estandarizado - Betas: - pueden aparecer en puntaje bruto (no estandarizado) o estandarizado - beta estandarizado: se interpreta como cuantas unidades de desviación estándar aumenta Y por cada aumento de una desviación estándar de X - betas estandarizados permiten comparar el efecto de cada variable independiente en una misma escala (desviaciones estándar) --- .pull-left-narrow[ # Resumen: # Tabla de regresión múltiple ] .pull-right-wide[ .content-box-red[ Modelos se presentan en columnas] .content-box-purple[ Información principal: beta y significación estadística para cada variable independiente] .content-box-yellow[ Información secundaria: número de observaciones y varianza explicada] ] --- .pull-left-narrow[ #Tabla de regresión múltiple: ## Sentido de presentación de modelos ] .pull-right-wide[ .content-box-gray[ Se comienza ingresando variables de hipótesis principales] .content-box-purple[ Modelos adicionales ingresan variables de hipótesis secundarias o variables de control] .content-box-yellow[ La interpretación de la tabla se realiza en general para cada variable independiente a través de los modelos] ] --- ## Intervalos de confianza em regresión Los **Intervalos de Confianza** proporcionan un rango de valores posibles para el parámetro poblacional y no sólo una estimación puntual. - Para los coeficientes de regresión, `$$IC=\beta_{j}\pm c*SE(\hat{\beta{j}})$$` donde `\(c\)` representa el valor crítico de t --- ## Intervalos de confianza `$$IC=\beta_{j}\pm c*SE(\hat{\beta{j}})$$` .medium[ Calculamos el intervalo de confianza del `\(\beta\)` del ejemplo anterior (10, SE=4) - al 95% de confianza: `$$LimiteSuperior= 10 + 1.96*4=17.84$$` `$$LimiteInferior= 10 - 1.96*4=2.16$$` Como se puede observar en ninguno de los límites el `\(\beta\)` "atraviesa" el cero, por lo que se puede rechazar con el 95% de confianza que `\(\beta = 0\)`] --- ## Gráfico de intervalos de Confianza ```r plot_summs(reg1) ``` <!-- --> --- class: roja middle center # LECTURA ## [Moore 7: Inferencia para medias (482-543)](/docs/lecturas/Moore_inferencia_medias.pdf) --- class: inverse ## Resumen - La **inferencia** en estadística se refiere a la relación que existe entre los resultados obtenidos basados en nuestra muestra y la población. - La inferencia en regresión se asocia a establecer un nivel de probabilidad de error asociado a la estimación de `\(\beta\)` - ¿Qué probabilidad de error estamos asumiendo al decir que nuestro `\(\beta\)` existe en la población (= que es estadísticamente distinto de 0)? --- class: inverse ## Resumen (II) - La **prueba T** nos permite establecer de manera exacta el nivel de error que estamos asumiendo para rechazar `\(H_0\)` - Conceptos clave: - hipótesis nula - hipótesis alternativa - nivel de error - nivel de significancia - intervalo de confianza - valor p --- class: front .pull-left[ # Estadística Multivariada ## Juan Carlos Castillo ## Sociología FACSO - UChile ## 1er Sem 2022 ## [multivariada.netlify.com](https://multivariada.netlify.com) ] .pull-right[ .right[ <br>  ] ]